در این مقاله به حل معادلات درجه دوم ناقص خواهیم پرداخت.
اما ابتدا بیایید تکرار کنیم که چه معادلاتی درجه دوم نامیده می شوند. معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 که x یک متغیر است و ضرایب a، b و c برخی از اعداد و a ≠ 0 نامیده می شود. مربع. همانطور که می بینیم ضریب x 2 برابر با صفر نیست و بنابراین ضرایب x یا جمله آزاد می تواند برابر با صفر باشد که در این صورت یک معادله درجه دوم ناقص بدست می آید.
سه نوع معادله درجه دوم ناقص وجود دارد:
1) اگر b = 0، c ≠ 0، سپس ax 2 + c = 0.
2) اگر b ≠ 0، c = 0، سپس ax 2 + bx = 0.
3) اگر b = 0، c = 0، سپس ax 2 = 0.
- بیایید بفهمیم که چگونه حل کنیم معادلات شکل ax 2 + c = 0.
برای حل معادله، عبارت آزاد c را به سمت راست معادله منتقل می کنیم، به دست می آوریم
تبر 2 = ‒s. از آنجایی که a ≠ 0 است، هر دو طرف معادله را بر a تقسیم می کنیم، سپس x 2 = ‒c/a.
اگر ‒с/а > 0 باشد، معادله دو ریشه دارد
x = ±√(–c/a) .
اگر ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
بیایید سعی کنیم با مثال هایی بفهمیم که چگونه چنین معادلاتی را حل کنیم.
مثال 1. معادله 2 x 2 ‒ 32 = 0 را حل کنید.
پاسخ: x 1 = - 4، x 2 = 4.
مثال 2. معادله 2 x 2 + 8 = 0 را حل کنید.
پاسخ: معادله هیچ راه حلی ندارد.
- بیایید دریابیم که چگونه آن را حل کنیم معادلات شکل ax 2 + bx = 0.
برای حل معادله ax 2 + bx = 0، آن را فاکتورگیری می کنیم، یعنی x را از پرانتز خارج می کنیم، x(ax + b) = 0 به دست می آید. اگر حداقل یکی از عوامل مساوی باشد حاصلضرب برابر با صفر است. به صفر سپس یا x = 0، یا ax + b = 0. با حل معادله ax + b = 0، ما ax = - b، که از آن x = - b/a. معادله ای به شکل ax 2 + bx = 0 همیشه دو ریشه x 1 = 0 و x 2 = ‒ b/a دارد. حل معادلات از این نوع را در نمودار ببینید. 
بیایید دانش خود را با یک مثال خاص تثبیت کنیم.
مثال 3. معادله 3x 2 ‒ 12x = 0 را حل کنید.
x(3x ‒ 12) = 0
x= 0 یا 3x – 12 = 0
پاسخ: x 1 = 0، x 2 = 4.
- معادلات نوع سوم تبر 2 = 0خیلی ساده حل می شوند
اگر ax 2 = 0، آنگاه x 2 = 0. معادله دارای دو ریشه مساوی x 1 = 0، x 2 = 0 است.
برای وضوح، بیایید به نمودار نگاه کنیم. 
هنگام حل مثال 4، مطمئن شویم که معادلات از این نوع را می توان خیلی ساده حل کرد.
مثال 4.معادله 7×2 = 0 را حل کنید.
پاسخ: x 1، 2 = 0.
همیشه بلافاصله مشخص نیست که چه نوع معادله درجه دوم ناقصی را باید حل کنیم. مثال زیر را در نظر بگیرید.
مثال 5.معادله را حل کنید
بیایید هر دو طرف معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنیم، یعنی در 30
بیایید آن را کاهش دهیم
5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) = 90.
بیایید پرانتزها را باز کنیم
25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 = 90.
بیایید مشابه بدهیم
بیایید 99 را از سمت چپ معادله به سمت راست حرکت دهیم و علامت را به عکس تغییر دهیم
پاسخ: بدون ریشه.
ما به چگونگی حل معادلات درجه دوم ناقص نگاه کردیم. امیدوارم در حال حاضر با چنین کارهایی مشکلی نداشته باشید. در تعیین نوع معادله درجه دوم ناقص دقت کنید، آنگاه موفق خواهید شد.
اگر سوالی در مورد این موضوع دارید، در درس های من ثبت نام کنید، ما با هم مشکلات پیش آمده را حل خواهیم کرد.
وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.
این شامل این واقعیت است که بتن تقویت شده با قاب های فولادی قوی، یک مصالح ساختمانی با مقاومت بالا است و تحت تأثیرات محیطی متعددی قرار نمی گیرد، به همین دلیل طراحی پایه یک تکیه گاه خط هوایی قادر به حمایت از فولاد و تقویت شده است. پشتیبانی از خطوط برق بتنی بدون خطر واژگونی آنها برای چندین دهه. دوام، مقاومت در برابر بارها و استحکام از مزایای اصلی استفاده از فونداسیون های بتن مسلح با عمق کم MF2x2-0 در ساخت انرژی است.
پایه های بتن مسلح MF2x2-0، کم عمق، از بتن سنگین با کلاس مقاومت فشاری حداقل B30، درجه - از M300 ساخته شده است. درجه بتن برای مقاومت در برابر سرما کمتر از F150 نیست، برای مقاومت در برابر آب - W4 - W6. سیمان و مواد خنثی مورد استفاده برای تولید بتن باید الزامات SNiP I-B.3-62 و TP4-68 را برآورده کند. بزرگترین اندازه دانه در سازه بتنی نباید از 20-40 میلی متر تجاوز کند. کنترل مقاومت بتن پایه های پشتیبانی مطابق با GOST 10180-67 "بتن سنگین. روشهای تعیین مقاومت" و GOST 10181-62 "بتن سنگین. روش‌هایی برای تعیین تحرک و صلبیت مخلوط بتن.
به عنوان تقویت کننده، از پایه های کم عمق MF2x2-0 استفاده می شود: میلگردهای فولادی تقویت کننده نورد گرم کلاس A-I، میلگردهای فولادی تقویت کننده نورد گرم از پروفیل دوره ای کلاس A-III، فولاد تقویت کننده میله با مشخصات دوره ای کلاس A-IV و تقویت کننده معمولی. سیم کلاس B1. برای نصب حلقه ها، فقط از تقویت کننده میله نورد گرم کلاس A-I ساخته شده از فولاد نرم کربن استفاده می شود.
پایه های پشتیبان های خطوط انتقال نیرو برای ساخت انرژی با یک وظیفه مسئولانه روبرو هستند - حفظ پایداری و استحکام پشتیبان های خطوط انتقال نیرو برای سال های متمادی در شرایط مختلف آب و هوایی، در هر زمان از سال و در هر آب و هوایی. بنابراین، مطالبات بسیار بالایی بر پایه های حمایتی گذاشته می شود. قبل از ارسال به مشتری، پایه های کم عمق برای ساپورت های MF2x2-0 با توجه به پارامترهای مختلف، به عنوان مثال، درجه پایداری، استحکام، دوام و مقاومت در برابر سایش، مقاومت در برابر دماهای منفی و تأثیرات جوی آزمایش می شوند. قبل از جوشکاری، قطعات اتصال باید عاری از زنگ زدگی باشند. پی های بتن مسلح با ضخامت لایه محافظ بتنی کمتر از 30 میلی متر و همچنین پی های نصب شده در خاک های تهاجمی باید با عایق رطوبتی محافظت شوند.
در حین بهره برداری، پی های کم عمق MF2x2-0 به ویژه در سال های اول بهره برداری از خطوط هوایی تحت نظارت دقیق قرار دارند. یکی از جدی ترین نقص ها در ساخت فونداسیون ها که در شرایط عملیاتی از بین می رود، نقض استانداردهای تکنولوژیکی در حین ساخت آنها است: استفاده از شن با کیفیت پایین یا ضعیف شسته شده، نقض نسبت ها هنگام تهیه مخلوط بتن و غیره. . یک عیب به همان اندازه جدی، بتن ریزی لایه ای پی است، زمانی که عناصر تکی یک پی در زمان های مختلف بدون آماده سازی سطح قبلی بتن ریزی می شوند. در این حالت، بتن یک عنصر فونداسیون با عنصر دیگر گیر نمی کند و ممکن است تحت بارهای خارجی که به طور قابل توجهی کمتر از بارهای محاسبه شده است، تخریب پی اتفاق بیفتد.
هنگام ساخت پایه های بتن مسلح برای تکیه گاه ها، استانداردها نیز گاهی نقض می شوند: از بتن با کیفیت پایین استفاده می شود، آرماتور در اندازه های اشتباهی که در پروژه پیش بینی شده است، گذاشته می شود. در حین ساخت خطوط برق بر روی پایه های بتنی مسلح پیش ساخته یا شمع، ممکن است نقص های جدی رخ دهد که توسط ساخت و ساز انرژی مجاز نیست. این گونه عیوب عبارتند از: نصب فونداسیون های بتن مسلح شکسته، نفوذ ناکافی آنها به زمین (به ویژه در هنگام نصب تکیه گاه ها در دامنه تپه ها و دره ها)، تراکم نامناسب در هنگام پرکردن، نصب فونداسیون های پیش ساخته با اندازه های کوچکتر و غیره. عیوب نصب شامل موارد نادرست است. نصب پایه های بتن آرمه، که در آن پایه های پیش ساخته منفرد که به عنوان پایه تکیه گاه فلزی در نظر گرفته شده اند دارای ارتفاعات عمودی یا جابجایی پایه های جداگانه در پلان هستند. در صورت تخلیه نادرست، شالوده های کم عمق MF2x2-0 ممکن است آسیب ببینند، بتن ممکن است برش خورده و آرماتور در معرض دید قرار گیرد. در مراحل پذیرش باید توجه ویژه ای به انطباق انکر بولت ها و مهره های آنها با ابعاد طراحی شود.
در شرایط عملیاتی، پایه های بتن مسلح کم عمق MF2x2-0 هم در اثر تأثیرات محیطی و هم از بارهای خارجی زیاد آسیب می بینند. آرماتور فونداسیون با سازه بتنی متخلخل در اثر اثرات تهاجمی آب های زیرزمینی آسیب می بیند. ترک هایی که در سطح پی ایجاد می شوند، در صورت قرار گرفتن در معرض بارهای متناوب عملیاتی و همچنین باد، رطوبت و دمای پایین، گسترش می یابند که در نهایت منجر به تخریب بتن و قرار گرفتن در معرض آرماتور می شود. در مناطقی که نزدیک کارخانه های شیمیایی قرار دارند، پیچ های لنگر و قسمت بالایی زیرپایی های فلزی به سرعت خراب می شوند.
شکستگی فونداسیون تکیه گاه نیز می تواند در نتیجه عدم هماهنگی آن با قفسه ها رخ دهد که باعث ایجاد گشتاورهای خمشی زیاد می شود. هنگامی که پایه فونداسیون توسط آب های زیرزمینی شسته می شود و از موقعیت عمودی خود منحرف می شود، خرابی مشابهی می تواند رخ دهد.
در طی فرآیند پذیرش، فونداسیون های کم عمق MF2x2-0 از نظر انطباق با طرح، عمق لایه گذاری، کیفیت بتن، کیفیت جوش آرماتورهای کاری و انکر بولت ها، در دسترس بودن و کیفیت حفاظت در برابر اثر آب های تهاجمی بررسی می شوند. علائم عمودی پایه ها اندازه گیری شده و محل قرارگیری انکر بولت ها مطابق شابلون بررسی می شود. در صورت مشاهده هرگونه عدم انطباق با استانداردها، تمامی عیوب قبل از پرکردن چاله ها برطرف می شود. فونداسیون هایی که در قسمت فوقانی دارای بتن تراشه شده و آرماتور آشکار شده اند تعمیر می شوند. برای انجام این کار، یک قاب بتنی به ضخامت 10-20 سانتی متر نصب شده است که 20-30 سانتی متر زیر سطح زمین دفن شده است، باید در نظر داشت که ساخت و ساز انرژی اجازه نمی دهد یک قاب ساخته شده از بتن سرباره وجود داشته باشد، زیرا سرباره حاوی مخلوطی از سرباره است. گوگرد که باعث خوردگی شدید آرماتورها و پیچ و مهره ها می شود در صورت آسیب بیشتر به پی (از جمله یکپارچه)، قسمت آسیب دیده با آرماتور جوش داده شده به آرماتور فونداسیون اصلی پوشانده شده و پس از نصب قالب، بتن ریزی می شود.
معادلات درجه دوم.
معادله درجه دوم- معادله جبری شکل کلی
که در آن x یک متغیر آزاد است،
a، b، c، ضرایب هستند، و
اصطلاح 
سه جمله ای مربع نامیده می شود.
روش های حل معادلات درجه دوم.
1. روش : فاکتورگیری سمت چپ معادله.
بیایید معادله را حل کنیم x 2 + 10x - 24 = 0. بیایید سمت چپ را فاکتور بگیریم:
x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).
بنابراین، معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
(x + 12) (x - 2) = 0
از آنجایی که محصول صفر است، حداقل یکی از عوامل آن صفر است. بنابراین، سمت چپ معادله صفر می شود x = 2و همچنین چه زمانی x = - 12. این به این معنی است که تعداد 2 و - 12 ریشه های معادله هستند x 2 + 10x - 24 = 0.
2. روش : روش انتخاب مربع کامل
بیایید معادله را حل کنیم x 2 + 6x - 7 = 0. یک مربع کامل در سمت چپ انتخاب کنید.
برای این کار عبارت x 2 + 6x را به شکل زیر می نویسیم:
x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.
در عبارت به دست آمده، جمله اول مجذور عدد x و دومی حاصل ضرب دو برابر x در 3 است. بنابراین، برای بدست آوردن یک مربع کامل، باید 3 2 را اضافه کنید، زیرا
x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.
اکنون سمت چپ معادله را تبدیل می کنیم
x 2 + 6x - 7 = 0,
اضافه کردن به آن و تفریق 3 2. ما داریم:
x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.
بنابراین، این معادله را می توان به صورت زیر نوشت:
(x + 3) 2 - 16 = 0، (x + 3) 2 = 16.
از این رو، x + 3 - 4 = 0، x 1 = 1، یا x + 3 = -4، x 2 = -7.
3. روش :حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول
بیایید هر دو طرف معادله را ضرب کنیم
تبر 2 + bx + c = 0، a ≠ 0
در 4a و به ترتیب داریم:
4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0،
((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0،
(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac،
2ax + b = ± √ b 2 - 4ac،
2ax = - b ± √ b 2 - 4ac،
مثال ها.
آ)بیایید معادله را حل کنیم: 4x 2 + 7x + 3 = 0.
a = 4، b = 7، c = 3، D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1،
D > 0،دو ریشه متفاوت؛
بنابراین، در مورد تمایز مثبت، یعنی. در
b 2 - 4ac > 0، معادله تبر 2 + bx + c = 0دو ریشه متفاوت دارد
ب)بیایید معادله را حل کنیم: 4x 2 - 4x + 1 = 0،
a = 4، b = - 4، c = 1، D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0،
D = 0،یک ریشه؛
بنابراین، اگر ممیز صفر باشد، یعنی. b 2 - 4ac = 0، سپس معادله
تبر 2 + bx + c = 0یک ریشه دارد
V)بیایید معادله را حل کنیم: 2x 2 + 3x + 4 = 0،
a = 2، b = 3، c = 4، D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13، D< 0.
این معادله ریشه ندارد.
بنابراین، اگر ممیز منفی باشد، یعنی. b 2 - 4ac< 0 ، معادله
تبر 2 + bx + c = 0ریشه ندارد
فرمول (1) ریشه های یک معادله درجه دوم تبر 2 + bx + c = 0به شما امکان می دهد ریشه ها را پیدا کنید هر معادله درجه دوم (در صورت وجود)، از جمله کاهش یافته و ناقص. فرمول (1) به صورت شفاهی به صورت زیر بیان می شود: ریشه های یک معادله درجه دوم برابر با کسری است که عدد آن برابر است با ضریب دوم که با علامت مخالف گرفته می شود، به اضافه منهای جذر مربع این ضریب بدون اینکه حاصل ضرب ضریب اول را با جمله آزاد چهار برابر کنیم. مخرج دو برابر ضریب اول است.
4. روش: حل معادلات با استفاده از قضیه ویتا.
همانطور که مشخص است، معادله درجه دوم کاهش یافته شکل دارد
x 2 + px + c = 0.(1)
ریشه های آن قضیه ویتا را برآورده می کند، که، چه زمانی a = 1به نظر می رسد
x 1 x 2 = q،
x 1 + x 2 = - p
از این نتیجه می‌توان به نتایج زیر رسید (از ضرایب p و q می‌توان نشانه‌های ریشه‌ها را پیش‌بینی کرد).
الف) اگر نیمه عضو qمعادله (1) مثبت است ( q > 0) سپس معادله دارای دو ریشه علامت مساوی است و این به ضریب دوم بستگی دارد پ. اگر آر< 0 ، هر دو ریشه اگر منفی هستند آر< 0 ، پس هر دو ریشه مثبت هستند.
مثلا،
x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2و x 2 = 1،زیرا q = 2 > 0و p = - 3< 0;
x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7و x 2 = - 1،زیرا q = 7 > 0و p= 8 > 0.
ب) اگر عضو آزاد باشد qمعادله (1) منفی است ( q< 0 ) سپس معادله دارای دو ریشه با علامت متفاوت است و ریشه بزرگتر اگر مثبت خواهد بود پ< 0 ، یا منفی اگر p > 0 .
مثلا،
x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5و x 2 = 1،زیرا q= - 5< 0 و p = 4 > 0;
x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9و x 2 = - 1،زیرا q = - 9< 0 و p = - 8< 0.
مثال ها.
1) بیایید معادله را حل کنیم 345x 2 – 137x – 208 = 0.
راه حل.زیرا a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0)که
x 1 = 1، x 2 = c/a = -208/345.
پاسخ 1؛ -208/345.
2) معادله را حل کنید 132x 2 – 247x + 115 = 0.
راه حل.زیرا a + b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0)که
x 1 = 1، x 2 = c/a = 115/132.
پاسخ 1؛ 115/132.
ب. اگر ضریب دوم b = 2kیک عدد زوج است، سپس فرمول ریشه است
مثال.
بیایید معادله را حل کنیم 3x2 - 14x + 16 = 0.
راه حل. ما داریم: a = 3، b = - 14، c = 16، k = - 7;
D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1، D > 0،دو ریشه متفاوت؛
پاسخ: 2; 8/3
که در. معادله کاهش یافته
x 2 + px + q = 0
منطبق با یک معادله کلی است که در آن a = 1, b = pو c = q. بنابراین، برای معادله درجه دوم کاهش یافته، فرمول ریشه است
شکل می گیرد:
فرمول (3) مخصوصاً برای استفاده راحت است آر- عدد زوج.
مثال.بیایید معادله را حل کنیم x 2 – 14x – 15 = 0.
راه حل.ما داریم: x 1.2 = 7±
پاسخ: x 1 = 15; x 2 = -1.
5. روش: حل معادلات به صورت گرافیکی
مثال. معادله x2 - 2x - 3 = 0 را حل کنید.
بیایید تابع y = x2 - 2x - 3 را رسم کنیم
1) داریم: a = 1، b = -2، x0 = = 1، y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. این بدان معنی است که راس سهمی نقطه (1؛ -4) و محور سهمی خط مستقیم x = 1 است.
2) دو نقطه از محور x را در نظر بگیرید که با محور سهمی متقارن هستند، برای مثال نقاط x = -1 و x = 3.
ما f(-1) = f(3) = 0 داریم. بیایید نقاط (-1; 0) و (3; 0) را در صفحه مختصات بسازیم.
3) از طریق نقاط (-1؛ 0)، (1؛ -4)، (3؛ 0) یک سهمی رسم می کنیم (شکل 68).
ریشه های معادله x2 - 2x - 3 = 0 ابسیساهای نقاط تقاطع سهمی با محور x هستند. این بدان معنی است که ریشه های معادله عبارتند از: x1 = - 1، x2 - 3.
ما به شما یک رایگان راحت ارائه می دهیم ماشین حساب آنلاین برای حل معادلات درجه دوم.با استفاده از مثال‌های واضح، می‌توانید به سرعت آنها را دریافت و درک کنید.
برای تولید حل معادله درجه دوم به صورت آنلاینابتدا معادله را به شکل کلی در آورید:
تبر 2 + bx + c = 0
فیلدهای فرم را بر این اساس پر کنید:
چگونه یک معادله درجه دوم را حل کنیم
| نحوه حل معادله درجه دوم: | انواع ریشه: |
|
1.
معادله درجه دوم را به شکل کلی آن کاهش دهید: نمای کلی Аx 2 +Bx+C=0 مثال: 3x - 2x 2 +1=-1 کاهش به -2x 2 +3x+2=0 2.
متمایز D را پیدا کنید. 3.
پیدا کردن ریشه های معادله. |
1.
ریشه های واقعی علاوه بر این. x1 برابر x2 نیست وضعیت زمانی رخ می دهد که D>0 و A برابر 0 نباشد. 2.
ریشه های واقعی یکسان است. x1 برابر x2 است 3.
دو ریشه پیچیده x1=d+ei، x2=d-ei، که در آن i=-(1) 1/2 5.
معادله راه حل های بی شماری دارد. 6.
معادله هیچ راه حلی ندارد. |
برای تجمیع الگوریتم، در اینجا چند مورد دیگر وجود دارد مثال های گویا از راه حل های معادلات درجه دوم.
مثال 1. حل یک معادله درجه دوم معمولی با ریشه های واقعی مختلف.
x 2 + 3x -10 = 0
در این معادله
A=1، B=3، C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
جذر را با عدد 1/2 نشان می دهیم!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5
برای بررسی، بیایید جایگزین کنیم:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
مثال 2. حل یک معادله درجه دوم با تطبیق ریشه های واقعی.
x 2 - 8 x + 16 = 0
A=1، B = -8، C=16
D = k 2 - AC = 16 - 16 = 0
X = -k/A = 4
جایگزین کنیم
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
مثال 3. حل یک معادله درجه دوم با ریشه های مختلط.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1، B = -4، C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
تمایز منفی است - ریشه ها پیچیده هستند.
X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
، جایی که من جذر -1 است
در اینجا در واقع تمام موارد ممکن برای حل معادلات درجه دوم وجود دارد.
ما امیدواریم که ما ماشین حساب آنلاینبرای شما بسیار مفید خواهد بود.
اگر مطالب مفید بود، می توانید
بارگذاری...